En matemáticas, el cálculo es una de las ramas fundamentales que juega un papel vital en la descripción de diferentes fenómenos naturales para el análisis de funciones y su comportamiento. El límite es una de las principales ramas del cálculo que analiza el comportamiento de la función en un punto específico.
Esta rama del cálculo juega un papel importante en la definición de otras ramas del cálculo como la continuidad, la integral, la derivada, etc. En este artículo, explicaremos el cálculo de límites en detalle junto con métodos para evaluar límites manualmente y usando una calculadora.
¿Qué es el cálculo de límites?
En la rama matemática conocida como cálculo, el límite es un concepto fundamental que juega un papel vital en el análisis del comportamiento de la función en un punto específico. Se puede definir como “el valor al que se aproxima una función a medida que la variable independiente se acerca más y más al punto específico”.
En representación matemática, una función f(t) cuando “t” se aproxima a un valor particular “b” igual a N se dice que es el valor límite de la función f(t).
Límite t→b f(t) = N
Dónde
- “t” = representa la variable independiente de la función
- “f(t)” = la función dada
- “b” = punto particular
- “N” = el valor límite de la función en “b”
El cálculo de límites es una rama crucial del cálculo que forma la base para los otros conceptos avanzados y ramas del cálculo. Esta rama del cálculo también juega un papel importante en sucesiones, sumatorias, series, etc.
Reglas de cálculo de límites
Existen varias reglas de cálculo de límites para tratar los diversos tipos y operaciones sobre la función.
- Regla de la suma: Lim t → b [f(t) + h(t)] = Lim t → b [f(t)] + Lim t → b [h(t)]
- Regla de la diferencia: Lim t → b [f(t) – h(t)] = Lim t → b [f(t)] – Lim t → b [h(t)]
- Regla del producto : Límite t → b [f(t) xh(t)] = Límite t → b [f(t)] x Límite t → b [h(t)]
- Regla constante: Lim t → b [k] = k
- Función constante Regla: Lim t → b [K h(t)] = K Lim t → b [h(t)]
- Regla de la potencia: lím t → b [h(t)] m = [lím t → b h(t)] m
- Regla del cociente: Lim t → b [f(t) / h(t)] = Lim t → b [f(t)] / Lim t → b [h(t)]
¿Cómo evaluar el límite manualmente?
Hay varios métodos para resolver límites manualmente.
Método de sustitución directa
Esta forma más fácil y sencilla de evaluar los límites se denomina método de sustitución directa. Este método le permite sustituir el punto particular directamente a la función dada y simplificar el resultado.
Ejemplo
Evalúe el límite de h(t) = 5t 2 + 6t 3 + 12t * 5t 2 – 16t si “t” tiende a “4”.
Solución
Paso 1: Escribe la función dada de acuerdo con la representación matemática del límite.
h(t) = 5t 2 + 6t 3 + 12t * 5t 2 – 16t
Límite t → b [h(t)] = Límite t →4 [ 5t 2 + 6t 3 + 12t * 5t 2 – 16t ]
Paso 2: ahora usa la regla de suma y diferencia para simplificar la función.
Límite → 4 [ 5t 2 + 6t 3 + 12t * 5t 2 – 16t ] = Límite → 4 [ 5t 2 ] + Límite →4 [ 6t 3 ] + Límite → 4 [ 12t] * Límite → 4 [ 5t 2 ] – Límite → 4 [ 16t ]
Paso 3: Ahora saca los términos constantes fuera de la notación de límite.
lím t →4 [ 5t 2 + 6t 3 + 12t * 5t 2 – 16t ] = 5 lím t →4 [ t 2 ] + 6 lím t →4 [ t 3 ] + 12 lím t →4 [ t] * 5 lím t →4 [ t 2 ] – 16 Límite t →4 [ t ]
Paso 4: ahora use el método de sustitución directa y sustituya t = 4 en la expresión anterior.
Límite →4 [ 5t 2 + 6t 3 + 12t * 5t 2 – 16t ] = 5 [ 4 2 ] + 6 [ 4 3 ] + 12 [ 4] * 5 [ 4 2 ] – 16 [ 4 ]
Límite →4 [ 5t 2 + 6t 3 + 12t * 5t 2 – 16t ] = 5 [ 16] + 6 [ 64] + 12 [ 4] * 5 [ 16] – [6 4 ]
Límite →4 [ 5t 2 + 6t 3 + 12t * 5t 2 – 16t ] = 80 + 384 + 48 * 80 – 6 4
Límite →4 [ 5t 2 + 6t 3 + 12t * 5t 2 – 16t ] = 80 + 384 + 3840 – 6 4
Límite →4 [ 5t 2 + 6t 3 + 12t * 5t 2 – 16t ] = 4304 – 6 4
Límite t →4 [ 5t 2 + 6t 3 + 12t * 5t 2 – 16t ] = 4240
Técnicas de factorización y simplificación
La técnica de factorización y simplificación es un método esencial que te permite tratar expresiones complejas para convertirlas en expresiones simples. El proceso de evaluar el límite se vuelve más fácil usando este método ya que cancelará el factor común y dará una forma simple de la función.
Ejemplo
Evaluar el límite cuando “t” se acerca a 3 de la función h(t) = (t 2 – 9) / (t – 3)
Solución
Paso 1: Escribe la función dada de acuerdo con la representación matemática del límite.
h(t) = (t 2 – 9) / (t – 3)
Límite t → b [h(t)] = Límite t →3 [ (t 2 – 9) / (t – 3) ]
Paso 2: ahora use el método de sustitución directa y sustituya t = 3 en la expresión anterior.
Límite → 3 [ (t 2 – 9) / (t – 3) ] = ( Límite → 3 [ t 2 ] – Límite →3 [ 9 ] ) / ( Límite → 3 [ t] – Límite → 3 [ 3 ])
Límite → 3 [ (t 2 – 9) / (t – 3) ] = ( [ 3 2 ] – [ 9]) / ( [ 3] – [ 3 ])
Límite t →3 [ (t 2 – 9) / (t – 3) ] = ( 9 – 9) / (3 – 3 )
Límite t →3 [ (t 2 – 9) / (t – 3) ] = 0/0
Esta es la forma indeterminada de la función. tenemos que usar técnicas de factorización y simplificación para eliminar la forma indeterminada de la función.
Paso 3: Ahora haz los factores del numerador.
t 2 – 9 = t 2 – (3) 2
Como sabemos que “(a 2 – b 2 = (a – b) (a + b))”
Entonces
t 2 – 9 = (t – 3) (t + 3)
Etapa 4: Toma la función dada, coloca los factores y cancela los factores comunes.
(t 2 – 9) / (t – 3) = (t – 3) (t + 3) / (t – 3)
(t 2 – 9) / (t – 3) = (t + 3)
Paso 5: Ahora aplica los límites de nuevo
Límite t →3 [ (t 2 – 9) / (t – 3) ] = Límite t →3 (t + 3)
Límite t →3 [ (t 2 – 9) / (t – 3) ] = Límite t →3 (t) + Límite t →3 ( 3)
Límite t →3 [ (t 2 – 9) / (t – 3) ] = 3 + 3 = 6
Método de racionalización
Este método juega un papel importante en el tratamiento de la compleja función de evaluar los límites. Se utiliza especialmente para tratar los radicales. Esto te permitirá multiplicar la expresión por su conjugado para eliminar los radicales y simplificar la expresión.
Ejemplo
Evaluar el límite cuando “t” se acerca a 25 de la función h(t) = ( √ t – 5) / (t – 25)
Solución
Paso 1: Escribe la función dada de acuerdo con la representación matemática del límite.
h(t) = ( √ t – 5) / (t – 25)
Límite t → b [h(t)] = Límite t →25 [ ( √ t – 5) / (t – 25) ]
Paso 2: ahora use el método de sustitución directa y sustituya t = 3 en la expresión anterior.
Límite → 25 [ ( √ t – 5) / (t – 25) ] = ( Límite → 25 [ √ t] – Límite →25 [ 5 ] ) / ( Límite → 25 [ t] – Límite → 25 [ 25 ])
Límite →25 [ ( √ t – 5) / (t – 25) ] = ( [ √ 25] – [ 5]) / ( [ 25] – [ 25 ])
Límite →25 [ ( √ t – 5) / (t – 25) ] = ( [ 5 ] – [ 5]) / ( [ 25] – [ 25 ])
Límite t →25 [ ( √ t – 5) / (t – 25) ] = 0/0
Esta es la forma indeterminada de la función. tenemos que usar el método de racionalización para eliminar la forma indeterminada de la función.
Paso 3: Ahora racionaliza la función dada
( √ t – 5) / (t – 25) = [( √ t – 5) ÷ (t – 25)] x [( √ t + 5) ÷ ( √ t + 5)]
( √ t – 5) / (t – 25) = [( √ t – 5) x ( √ t + 5)] ÷ [(t – 25) x ( √ t + 5)]
( √ t – 5) / (t – 25) = [(t – 25)] ÷ [(t – 25) x ( √ t + 5)]
Etapa 4: Toma la función dada, coloca los factores y cancela los factores comunes.
( √ t – 5) / (t – 25) = [(t – 25)] ÷ [ (t – 25) x ( √ t + 5)]
( √ t – 5) / (t – 25) = 1 ÷ ( √ t + 5)
Paso 5: Ahora aplica los límites de nuevo
Límite → 25 [ ( √ t – 5) / (t – 25) ] = Límite → 25 [ 1 ] ÷ Límite →25 [ ( √ t + 5) ]
Límite → 25 [ ( √ t – 5) / (t – 25) ] = Límite → 25 [ 1] ÷ ( Límite → 25 [ √ t] + Límite → 25 [ 5 ])
Límite t →25 [ ( √ t – 5) / (t – 25) ] = 1 ÷ ( [ √ 25] + [ 5 ])
Límite t →25 [ ( √ t – 5) / (t – 25) ] = 1 ÷ ( 5 + 5 )
Límite t →25 [ ( √ t – 5) / (t – 25) ] = 1 ÷ 10 o 1/10
¿Cómo evaluar los límites usando una calculadora?
Hay varias herramientas en línea disponibles para evaluar los límites numéricamente. Algunos de ellos son de pago mientras que otros son gratuitos. Estas herramientas solo dan resultados o una solución paso a paso. Una calculadora de límite de Allmath es una herramienta fácil de usar que lo ayudará a evaluar el límite de una función con pasos sin involucrarse en cálculos largos y lentos.
Debe colocar la función en el cuadro de entrada, ingresar el valor límite, seleccionar la variable y presionar el botón Enviar. La solución con pasos llegará en poco tiempo. A continuación se muestra un ejemplo de cómo evaluar el límite de una función usando una calculadora de límites.
Ejemplo
Evalúe el límite cuando “t” se acerque a 4 de la función h(t) = (t 2 – 16) / (t – 4) usando la calculadora de límites.
Solución
Paso 1: escriba la función en el cuadro de entrada
Paso 2: Selecciona la variable “t”.
Paso 3: Introduzca el valor límite «4».
Paso 4: Presiona el botón enviar.
Paso 5: Resultado
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En cálculo, el límite es un concepto fundamental que es esencial para tratar el comportamiento de la función en un punto específico. Puede obtener las reglas y métodos básicos de esta publicación para comprender cómo evaluarlo manualmente y usando una calculadora.
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